Построить линии пересечения поверхностей двух цилиндров. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. Построение развертки. Способ вспомогательных секущих плоскостей

При выполнении машиностроительных чертежей наиболее часто встречается случай пересечения двух цилиндрических поверхностей, оси которых расположены под углом 90°. Разберем пример построения линии пересечения поверхностей двух прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций (рисунок 201). В начале построения, как известно, находят проекции очевидных точек /, 3 и 5. Построение проекции промежуточных точек показано на рисунке 201. Если в данном примере применить общий способ построения линий пересечения с помощью вспомогательных взаимно параллельных плоскостей, пересекающих обе цилиндрические поверхности по образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены искомые промежуточные точки линии пересечения (например, точки 2, 4 на рисунке 201). Однако в данном случае выполнять такое построение нет необходимости по следующим соображениям. Горизонтальная проекция искомой линии пересечения поверхностей совпадает с окружностью - горизонтальной проекцией большого цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью - профильной проекцией малого цилиндра. Таким образом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек известны. Например, по горизонтальной проекции точки 2" находят профильную проекцию 2"". По двум проекциям 2" и 2"" определяют фронтальную проекцию 2" точки 2, принадлежащей линии пересечения цилиндров. Построение изометрической проекции пересекающихся цилиндров (рисунок 202) начинают с построения изометрической проекции вертикального цилиндра. Далее через точку О, параллельно оси л- проводят ось горизонтального цилиндра. Положение точки 0} определяется величиной //, взятой с комплексного чертежа (рисунок 201). Отрезок, равный Л, откладывают от точки О вверх по оси z. Откладывая от точки О, по оси горизонтального цилиндра отрезок /, получим точку 02 - центр основания горизонтального цилиндра. Изометрическая проекция линии пересечения поверхностей строится по точкам при помоши трех координат. Однако в данном примере искомые точки можно построить несколько иначе. Так, например, точку 2 строят следующим образом. От центра 02 вверх, параллельно оси z> откладывают отрезок т. взятый с комплексного чертежа. Через конец этого отрезка проводят прямую, параллельную оси >\ до пересечения с основанием горизонтального цилиндра в точке 2V Затем из точки 2, проводят прямую, параллельную оси х, и на ней откладывают отрезок, равный расстоянию от основания горизонтального цилиндра до линии пересечения, взятый с фронтальной или горизонтальной проекции комплексного чертежа. Конечные точки этих отрезков будут принадлежать линии пересечения. Через полученные точки проводят по лекалу кривую, выделяя ее видимые и невидимые части. Если диаметры пересекающихся цилиндрических поверхностей одинаковы, то фронтальная проекция линии пересечения представляет собой две пересекающиеся прямые. Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят при помощи вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер).

Цель задания: Изучить методы построения линии пересечения двух цилиндров.

Порядок выполнения: Начертить рамку и основную надпись. Вычертить три проекции пересекающихся цилиндров по заданным размерам. Найти проекции очевидных точек линии пересечения цилиндрических поверхностей. Определить количество промежуточных точек и построить их проекции. Наметить линию пересечения на всех трех проекциях и определить ее видимость. Нанести обозначения точек. Обвести чертеж, заполнить основную надпись.

Значения параметров, приведенных на рисунке 10, выбирают по таблице 4 согласно варианту. Образец показан на рисунке 12.

Методические указания по выполнению листа 4

Общая линия пересекающихся поверхностей называется линией пересечения. На чертежах линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией .

Метод построения линий пересечения поверхностей тел заключается в проведении вспомогательных секущих плоскостей и нахождении отдельных точек линий пересечения данных поверхностей в этих плоскостях. В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают такие плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям – прямым или окружностям, причем окружности должны располагаться в плоскостях, параллельным плоскостям проекций.

Рассмотрим построение линии пересечения поверхностей двух прямых круговых цилиндров, оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций.

Перед тем, как строить линию пересечения поверхностей на чертеже, необходимо представить себе эту линию в пространстве (см. рисунок 11).

В начале построения находят проекции очевидных точек 1, 4 (см. рисунок 10). Горизонтальная проекция искомой линии пересечения поверхностей совпадает с окружностью – горизонтальной проекцией одного из цилиндров. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью – профильной проекцией второго цилиндра. Таким образом, фронтальную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек известны. Например, по горизонтальной проекции 2 1 точки 2 находят профильную проекцию 2 3 . По двум проекциям 2 1 и 2 3 определяют фронтальную проекцию 2 2 точки 2, принадлежащей линии пересечения цилиндров.

Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят при помощи вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер).

Таблица 4 – Варианты исходных данных к листу 4.

Рисунок 10 – Взаимное пересечение поверхностей цилиндров.

Графическая работа 5 «Технический рисунок модели»

Цель задания: Научиться изображать от руки технические детали простой формы. Изучить правила выполнения технических рисунков.

Порядок выполнения: Начертить рамку и основную надпись. Проанализировать форму детали по ее аксонометрическому изображению. Выполнить технический рисунок. Рисунок выполняется от руки, на глаз, сначала тонкими линиями, затем для выявления объема делается штриховка и обводка. Заполнить основную надпись. Вариант выбирают по рисунку 13 а, б. Образец показан на рисунке 14.

Пересечение цилиндров в этой статье определяется методом секущих сфер. Но для начала необходимо ознакомиться с заданием, расположено снизу.

Ознакомившись с данным заданием, можно приступать к выполнению вычерчивания.

Порядок выполнения работ на пересечение цилиндров:

1.) Первоначально чертятся фигуры.

2.) После построения необходимо наименьший радиус вспомогательной секущей сферы (он находится от места пересечения осей фигур до края фигуры, имеющую по ширине больший размер). В данном случае наименьший радиус имеет длину от сопряжения осей до края вертикально расположенного цилиндра.

3.) Построенный радиус пересекает каждую фигуру в двух точках («1» соединяем с «2», «3» с «4»), которые соединяем между собой и в месте пересечения образуется первая точка.

4.) Чертятся еще вспомогательные сферы (радиусы берутся произвольно) с последующим определением точек. Принцип определения точек описан в «3» пункте.

5.) Точки 1 2 и 5 2 можно сразу показать, потому что фигуры расположены на одной оси, если посмотреть сверху.

6.) Следующим шагом необходимо перенести все найденные точки в верхнем изображении в нижний. И для этого строится вспомогательная окружность (расположена справа), к которой от точек ведутся прямые (обозначены красным, синим и зеленым цветами).

7.) Отрезки (обозначены красным, синим и зеленым цветами) более утолщенные отмеряем от оси, как указано на рисунке. И от них проводим прямые до пересечения с линиями опущенные от точек.

Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности плоскостью в общем случае находят точки пересечения образующих с секущей плоскостью, как это сказано (см. 9.1) в отношении любых линейчатых поверхностей. При необходимости не исключается применение и вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих поверхность и плоскость.

Заметим, что любую цилиндрическую поверхность плоскость, расположенная параллельно образующей этой поверхности, пересекает по прямым линиям (образующим).

Вид линии, образованной при пересечении плоскостью прямого кругового цилиндра, определяется положением плоскости относительно оси. Эта линия - окружность, если плоскость перпендикулярна оси; две прямые (проекции 1"2" и 3"4" на рис. 9.1) или одна прямая (касательная), если плоскость параллельна оси (след P w); эллипс (1-2-3-4 на рис. 9.2), если плоскость расположена под углом к оси.

Образование выреза на цилиндре двумя плоскостями Р (Рv) || W и Т (T w) || V показано на рисунке 9.3.

Цилиндр с наклонным срезом. Рассмотрим построение чертежа цилиндра со срезом проецирующей плоскостью под некоторым углом к его оси (не равным 0° и 90°), натуральной величины среза и развертки цилиндра (рис. 9.4, 9.5).

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью Р (Pv) проецируются на плоскость Н в окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12 эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9", 10", 11", 12" отмеченных точек на фронтальном следе P v , секущей плоскости. Профильные проекции тех же точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи.

Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось 10 "4" которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая 1"7" - профильная проекция отрезка 1-7.

Если плоскость Р расположить (см. рис. 9.4) под углом 45° к оси, то профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции (см. рис. 9.4) станет равной диаметру цилиндра.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью Р построен способом перемены плоскостей проекций на плоскости S, перпендикулярной плоскости V Большая ось эллипса - отрезок 1 5 7 5 = 1"7 ", малая - отрезок 4 5 10 5 = d.

Построение развертки (рис. 9.5). Полная развертка состоит из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограниченной пятью отрезками прямой линии и кривой А 0 1 0 В 0 - синусоидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

Полная развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, а длиной L = nd, где d - диаметр цилиндра. Для построения на развертке точек линии среза развертку основания цилиндра делят на такое же число частей, как и при построении проекций линий среза. Проводят через точки деления образующие и, пользуясь фронтальной проекцией, отмечают на них высоту до точек эллипса среза - точки 1 0 , 2 0 и 12 0 , 3 0 и 11 0 , 4 0 и 10 0, 5 0 и 9 0 , 6 0 и 8 0 , 7 0 . Соединяют построенные точки плавной кривой - синусоидой. Натуральный вид фигуры среза цилиндра плоскостью выполнен ранее ( ls2s3s...12s ), и его по координатам строят на развертке.

Построим на чертеже цилиндра проекции точки М, указанной на развертке точкой М 0 . Для этого отметим хорду l2 между образующей, на которой расположена точка М 0, и образующей точки 4. По хорде l2 строим горизонтальную проекцию т (рис. 9.4) и по известной высоте ее расположения находим ее фронтальную проекцию т".

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении цилиндрической поверхности плоскостью, следует в общем случае находить точки пересечения образующих с секущей плоскостью, как было сказано на с. 170 в отношении линейчатых поверхностей вообще. Но это не исключает возможности применять и вспомогательные плоскости, пересекающие каждый раз поверхность и плоскость.

Прежде всего отметим, что любая цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью, расположенной параллельно образующей этой поверхности, по прямым линиям (образующим). На рис. 360 показано пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. В данном случае эта поверхность является вспомогательным элементом при построении точки пересечения кривой линии с плоскостью: через заданную кривую (см. рис. 360, слева) DMNE проведена цилиндрическая поверхность, проецирующая кривую на пл. π 1 . Далее, плоскость (на рис. 360 - треугольник) пересекает цилиндрическую поверхность по плоской кривой М 1 ... N 1 . Искомая точка пересечения кривой с плоскостью - точка К - получается в пересечении кривых - заданной и построенной.

Такая схема решения задачи на пересечение кривой линии с плоскостью совпадает со схемой решения задач на пересечение прямой линии с плоскостью (см. §§ 23

и 25); в обоих случаях через линию проводят вспомогательную поверхность, которая для прямой линии является плоскостью.

Горизонтальная проекция кривой M 1 ...N 1 , по которой цилиндрическая поверхность пересекается с плоскостью, совпадает с горизонтальной проекцией кривой D ... Е, так как эта кривая является направляющей для цилиндрической поверхности при перпендикулярных к пл. π 1 , ее образующих. Поэтому по точке М" 1 на проекции А"С" мы можем найти проекцию М" 1 на А"С" и по точке N" 1 - проекцию N" 1 . Далее, на рис. 360 справа показана вспомогательная пл. α, пересекающая ABC по прямой CF, а цилиндрическую поверхность - по ее образующей с горизонтальной проекцией в точке 1". В пересечении этой образующей с прямой CF получается точка с проекциями 1" и 1", принадлежащая кривой М 1 ... N 1 Очевидно, можно не указывать следа плоскости, а просто провести прямую в треугольнике, как это показано в отношении прямой CG, на которой получена точка с проекциями 2" и 2".

В рассмотренных далее примерах будут показаны развертки . Развертывание цилиндрической поверхности в общем случае может производиться по схеме развертывания поверхности призмы. Цилиндрическая поверхность как бы заменяется вписанной в нее или описанной призматической, ребра которой соответствуют образующим цилиндрической поверхности. Само развертывание, подобно показанному на рис. 283, производится при помощи нормального сечения. Но вместо ломаной линии проводится плавная кривая.

На рис. 361 показано пересечение прямого кругового цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью. Фигура сечения представляет собой эллипс, малая ось которого равна диаметру основания цилиндра; величина большой оси зависит от угла между секущей плоскостью и осью цилиндра.

Так как ось цилиндра перпендикулярна к пл. π 1 то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.

Обычно для построения точек контура сечения проводят равномерно расположенные образующие, т. е. такие, проекции которых на пл. π 1 являются точками, равноотстоящими друг от друга. Этой «разметкой» удобно пользоваться не только для построения проекций сечения, но и развертки боковой поверхности цилиндра, как это будет показано ниже.

Проекция фигуры сечения на пл. π 3 - эллипс, большая ось которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая представляет собой проекцию отрезка 1"7". На рис. 361 на пл. π 3 изображение построено так, как будто верхняя часть цилиндра снята после пересечения его плоскостью.

Если бы на рис. 361 плоскость α составляла с осью цилиндра угол 45°, то проекцией эллипса на π 3 была бы окружность. При этом отрезки 1""7"" и 4""10"" оказались бы равными.

Если тот же цилиндр пересекать плоскостью общего положения, также составляющей с осью цилиндра угол 45°, то проекцию фигуры сечения (эллипса) в виде окружности можно получить на дополнительной плоскости проекций, параллельной оси цилиндра и горизонталям секущей плоскости.

Очевидно, при увеличении угла наклона секущей плоскости к оси отрезок 1""7"" уменьшается; если же этот угол будет меньше 45°, отрезок 1""7"" увеличивается и становится большой осью эллипса на пл. π 3 , малой же осью этого эллипса становится отрезок 4""10"".

Натуральный вид сечения представляет собой, как уже сказано выше, эллипс. Его оси получаются на чертеже: большая - отрезок 1 0 7 0 = 1"7", малая - отрезок 4 0 10 0 , равный диаметру цилиндра. Эллипс может быть построен по этим осям.

На рис. 362 показана полная развертка нижней части цилиндра.

Развернутая окружность основания цилиндра разделена на равные между собой части соответственно делениям на рис. 361; отрезки образующих отложены на перпендикулярах, проведенных в точках деления развернутой окружности основания цилиндра. Концы этих отрезков соответствуют точкам эллипса. Поэтому, проведя через них кривую линию, получаем развернутый эллипс (эта линия представляет собой синусоиду) - верхнюю кромку развертки боковой поверхности цилиндра.

К развертке боковой поверхности на рис. 362 присоединены круг основания и эллипс - натуральный вид сечения, что дает возможность сделать модель усеченного цилиндра.

На рис. 363 изображен эллиптический цилиндр с круговым основанием; его ось параллельна пл. π 2 . Для определения нормального сечения этого цилиндра его надо рассечь плоскостью, перпендикулярной к образующим, в данном случае фронтально-проецирующей плоскостью. Фигура нормального сечения представляет собой эллипс с большой осью, равной отрезку 3 0 7 0 , и с малой, равной 1 0 5 0 = 1"5".

Если надо будет развернуть боковую поверхность данного цилиндра, то, имея нормальное сечение, развертывают ограничивающую его кривую в прямую линию и в соответствующих точках этой прямой, перпендикулярно к ней, откладывают отрезки образующих, беря их с фронтальной проекции. Для разметки образующих делят окружность основания на равные части. При этом и эллипс (нормальное сечение) разделится на такое же число частей, но не все эти части получаются равной

длины. Развертывание эллипса в прямую можно произвести путем последовательного откладывания на прямой достаточно малых частей эллипса.

На рис. 364 показан прямой круговой цилиндр, пересеченный плоскостью общего положения. В сечении получается эллипс: секущая плоскость составляет с осью конуса некоторый острый угол.

Подобно тому, как это было на рис. 361, горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Поэтому положение горизонтальной проекции точки пересечения любой из образующих цилиндра с пл. α известно (например, точка А" на рис. 365). Для нахождения соответствующей фронтальной проекции можно ировести в пл. α горизонталь или фронталь, на которой должна находиться искомая точка. На рис. 365 проведена фронталь; в том месте, где фронтальная проекция фронтали пересекает фронтальную проекцию соответствующей образующей, лежит проекция А". Одна и та же фронталь определяет две точки кривой, А и В (рис. 365). Если же построить фронталь, соответствующую точке С, то

эта линия определит лишь одну точку кривой пересечения. Фронталь, построенная по точкам D и Е, определяет крайние точки D" и Е".

Продолжая аналогичные построения, можно найти достаточно точек для вычерчивания фронтальной проекции линии пересечения.

На рис. 366 верхняя часть цилиндра как бы срезана. Если же фронтальную проекцию показывают полностью, то линию пересечения вычерчивают так, как показано на рис. 364.

На рис. 365 показаны вспомогательные фронтальные плоскости β, γ, δ пересекающие цилиндр по образующим, а пл. α по фронталям. Это соответствует тому, что было сказано в начале параграфа. Вспомогательная пл. δ лишь касается цилиндра, что дает возможность определить только одну точку для кривой.

При построении фронтальной проекции линии пересечения, помимо точек D" и Е" (рис. 365), следует найти еще две крайние точки, а именно М" и N" - наивысшую и наинизшую точки проекции сечения на пл. π 2 . Для их построения надо выбрать вспомогательную плоскость, перпендикулярную к следу h" 0α и проходящую через ось цилиндра (рис. 366). Эта плоскость является общей плоскостью симметрии данных цилиндра и секущей пл. а. Найдя линию пересечения плоскостей α и β, отметим точки М" и N", построив их на фронтальной проекции по точкам М" и N".

Иной способ нахождения точек М" и N" заключается в проведении двух плоскостей, касательных к цилиндру, горизонтальные следы которых параллельны следу h" 0α . Эти плоскости пересекутся с пл. α по горизонталям последней (рис. 364, вспомогательные плоскости β и γ); отметив точки М" и N" построим точки М" и N" на фронтальных проекциях горизонталей.

Отрезок MN представляет собой большую ось эллипса - фигуры сечения данного цилиндра пл. α. Это видно и на рис. 366, где построен в совмещении с пл. π 1 эллипс - натуральный вид сечения. Но отрезок M"N" на том же рисунке отнюдь не является большой осью эллипса - фронтальной проекции фигуры сечения. Эту большую ось можно найти по сопряженным диаметрам M"N" и F"G" (рис. 364) построением, указанным в § 21, или специальным построением, приведенным в § 76.

Натуральный вид сечения может быть найден совмещением секущей плоскости с одной из плоскостей проекций, π 1 или π 2 .

На рис. 366 эллипс в совмещенном положении построен по большой и малой осям (там же точка D" получена совмещением фронтали).

Развертка боковой поверхности показана на рис. 364. Обратите внимание на то, что разметка точек - горизонтальных проекций образующих - на окружности основания производилась от точки N". Этим построение упрощалось, так как с помощью одной и той же горизонтали получаются две точки на фронтальной проек

ции эллипса. Кроме того, фигура развертки имеет ось симметрии. Но при этом точки D" и Е" не попали в число точек, размеченных на окружности.

Еще один пример построения фигуры сечения цилиндра вращения плоскостью дан на рис. 367. Это построение выполнено при помощи способа перемены плоскостей проекций. Секущая плоскость задана пересекающимися прямыми - фронталью (AF) и профильной прямой (АР). Так как профильная проекция фронтали и фронтальная проекция профильной прямой лежат на одной прямой А"≡A"", A""F"" = А"Р", то эти прямые лежат соответственно в плоскостях π 2 и π 3 , (см. рис. 367, слева вверху). Ось π 2 /π 3 проходит через A""F""(A"P").

Вводим новую пл. π 4 так, что π 4 ⊥π 3 , и π 4 ⊥АР. Секущая плоскость оказывается перпендикулярной к π 4 , и проекция на π 4 фигуры сечения получается в виде отрезка прямой 2 IV 6 IV , равного большой оси эллипса - фигуры сечения. Положение прямой A IV 6 IV определяется построением проекций точек А и 1 на пл. π 4 .

Проследим построение некоторых точек. Чтобы избежать излишних построений, проекция 1"" была взята на продолжении перпендикуляра, проведенного из О"" на π 3 / π 4 . По точке 1"" была получена проекция 1"; отрезок 1"1"", отложенный от оси π 3 /π 4 , определил точку IV и совпадающую с ней точку О 1 - проекцию центра эллипса. Зная проекции 0 IV и О"", можно получить О" - центр эллипса - искомой фронтальной проекции фигуры сечения.

По точкам 2 IV и 2"" найдена точка 2", наименее удаленная от π 3 , а по точкам 6 IV и 6"" - точка 6", наиболее удаленная от π 3 .

По точке 5"" взяга точка 5 IV , и теперь по точкам 5 IV и 5"" найдена точка 5"- одна из точек, определяющих разделение эллипса на фронтальной проекции цилиндра на «видимую» и «невидимую» части. Вторая точка расположена симметрично точке 5" по отношению к О".

Остальное ясно из чертежа. Натуральный вид фигуры сечения (эллипс на рис. 367, справа) построен по осям - большой, равной 2 IV 6 IV , и малой, равной диаметру цилиндра.

Вопросы к §§ 55 -56

1. Как строится кривая линия при пересечении кривой поверхности плоскостью?
2. По каким линиям пересекается цилиндрическая поверхность плоскостью, проведенной параллельно образующей этой поверхности?
3. Каким приемом пользуются в общем случае для нахождения точки пересечения кривой линии с плоскостью?
4. Какие линии получаются при пересечении цилиндра вращения плоскостями?
5. В каком случае эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого перпендикулярна к пл. π 1 , фронтально-проецирующей плоскостью, спроецируется на пл. π 3 в виде окружности?
6. Как следует расположить дополнительную плоскость проекций, чтобы эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого перпендикулярна к пл. π 1 , плоскостью общего положения, составляющей с осью цилиндра угол 45°, спроецировался на эту плоскость проекций в виде окружности?